- Module TS (Théorie de Signal)
Chap1 : Signaux, Fonctions et Opérateurs de base.
Chap2 : Classification des Signaux.
Chap3 : Séries et Transformée de Fourier.
Chap4 : Convolution et Corrélation.
Chap5 : Analyse Spectrale
Chap6 : Echantillonnage.
Chap7: Signaux Aléatoires.
Chap8 : Filtrage.
Chap9 : Transformées de Fourier Discrète et Rapide
Chap10 : Modulation et Démodulation des Signaux
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- Cour de traitement de signal
Proposé et enseigné par Chebbara Fouad
1 Defe nition du signal 6
1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Liens entre les deux types de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Signaux d eterministes 7
2.1 Signaux analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Signaux a temps discr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Principaux signaux 7
3.1 Fonction porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Fonction echelon unit e de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Fonction Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Fonction Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Fonction Sinus Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 Fonction Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.7 Fonction p eriodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.7.1 Valeur moyenne de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.7.2 Puissance Moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Signaux al eatoires 9
4.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Rappels sur les notions de probabilit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 S erie de Fourier 10
5.1 D e nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Repr esentation Complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 Repr esentation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3.1 Harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3.2 Spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3.3 Sym etrie et Changement de l'origine des temps . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Int egrale et Tranform ee de Fourier 11
6.1 Signaux non p eriodiques ou a T ! +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2 D e nition de la Transform ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.3 Propri et es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.1 Lin earit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.2 D erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.3 Parit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.4 Conjugu e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.5 D ecalage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.6 Dilatation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Convolution 12
7.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.2 Propri et es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.3 Convolution de fonctions T0-p eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.4 Th eor eme de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8 Transform ee de Laplace 14
8.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8.2 Propri etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9 Propri et es energ etiques 14
9.1 Puissance instantan ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.2 Puissance moyenne sur un dur ee T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.3 Energie dans un intervalle T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.4 Energie totale du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.5 Puissance moyenne d'interaction entre deux signaux . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.6 Puissance fr equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10 Corr elation et densit e spectrale 15
10.1 Intercorr elation entre deux signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10.2 Autocorr elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10.2.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10.2.2 Propri et es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10.3 Densit e spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
11 Propri et es spectrales 16
11.1 Spectre du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11.2 Th eor eme de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11.3 Th eor eme de Wiener-Khinchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 Signaux al eatoires 17
12.1 Th eorie des probabilit es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12.1.1 Variables al eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12.1.2 Distribution de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12.1.3 Distribution de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.1.4 Cas de 2 variables al eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.2 Principales lois de probabilit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.2.1 Propri et es des signaux al eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.2.2 Caract eristique d'un signal al eatoire stationnaire et ergodique . . . . . . 18
12.3 Le Bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.3.1 Bruit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.3.2 Bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.3.3 Bruit rose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.3.4 Bruit de Grenaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12.3.5 Autres bruits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12.3.6 Propri et es et Traitement de Bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12.3.7 D etection par corr elation d'un signal p eriodique noy e dans du bruit . . . 20
13 Num erisation des Signaux 22
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.1.1 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.1.2 Traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.1.3 Probl eme rencontr e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.2 Echantillonnage id eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.2.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.2.2 Transform ee de Fourier du peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.2.3 Formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.2.4 Transform ee de Fourier du signal echantillonn e . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.2.5 Th eor eme de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.2.6 Extraction du signal initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13.2.7 E et du repliement de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13.2.8 Echantillonnage r eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13.3 Quanti cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13.3.1 Puissance moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
13.3.2 Valeur moyenne quadratique (moment d'ordre 2) . . . . . . . . . . . . . 27
14 Syst emes de Transmission et Filtres 28
14.1 D e nitions et Propri et es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14.1.1 D e nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14.1.2 Bande Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14.2 Filtres analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14.2.1 Filtre fr equentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14.2.2 Relation Filtrage-Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14.2.3 Filtres lin eaires physiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
15 Filtres Analogiques 30
15.1 Filtres analogiques continus r ealisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15.2 Fonction de tranfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15.3 Filtres a d ephasage lin eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
15.4 Filtres Particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
15.5 Mod elisation des ltres analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
16 Filtres Num eriques 31
16.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
16.2 Filtrage lin eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
16.2.1 Transform ee en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
16.2.2 TZ et Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.3 Classi cation des ltres num eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.3.1 Filtres non r ecursifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.3.2 Filtres r ecursifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.3.3 Filtres MA ou RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.3.4 Filtres AR ou RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
16.3.5 Filtres num eriques el ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
16.4 Conception d'un ltre num erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
16.5 Restitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Proposé et enseigné par Chebbara Fouad
1 Defe nition du signal 6
1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Liens entre les deux types de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Signaux d eterministes 7
2.1 Signaux analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Signaux a temps discr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Principaux signaux 7
3.1 Fonction porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Fonction echelon unit e de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Fonction Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Fonction Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Fonction Sinus Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 Fonction Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.7 Fonction p eriodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.7.1 Valeur moyenne de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.7.2 Puissance Moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Signaux al eatoires 9
4.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Rappels sur les notions de probabilit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 S erie de Fourier 10
5.1 D e nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Repr esentation Complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 Repr esentation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3.1 Harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3.2 Spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3.3 Sym etrie et Changement de l'origine des temps . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Int egrale et Tranform ee de Fourier 11
6.1 Signaux non p eriodiques ou a T ! +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2 D e nition de la Transform ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.3 Propri et es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.1 Lin earit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.2 D erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.3 Parit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.4 Conjugu e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.5 D ecalage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3.6 Dilatation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Convolution 12
7.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.2 Propri et es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.3 Convolution de fonctions T0-p eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.4 Th eor eme de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8 Transform ee de Laplace 14
8.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8.2 Propri etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9 Propri et es energ etiques 14
9.1 Puissance instantan ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.2 Puissance moyenne sur un dur ee T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.3 Energie dans un intervalle T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.4 Energie totale du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.5 Puissance moyenne d'interaction entre deux signaux . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9.6 Puissance fr equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10 Corr elation et densit e spectrale 15
10.1 Intercorr elation entre deux signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10.2 Autocorr elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10.2.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10.2.2 Propri et es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
10.3 Densit e spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
11 Propri et es spectrales 16
11.1 Spectre du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11.2 Th eor eme de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11.3 Th eor eme de Wiener-Khinchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 Signaux al eatoires 17
12.1 Th eorie des probabilit es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12.1.1 Variables al eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12.1.2 Distribution de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12.1.3 Distribution de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.1.4 Cas de 2 variables al eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.2 Principales lois de probabilit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.2.1 Propri et es des signaux al eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.2.2 Caract eristique d'un signal al eatoire stationnaire et ergodique . . . . . . 18
12.3 Le Bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.3.1 Bruit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.3.2 Bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.3.3 Bruit rose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.3.4 Bruit de Grenaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12.3.5 Autres bruits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12.3.6 Propri et es et Traitement de Bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12.3.7 D etection par corr elation d'un signal p eriodique noy e dans du bruit . . . 20
13 Num erisation des Signaux 22
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.1.1 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.1.2 Traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.1.3 Probl eme rencontr e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.2 Echantillonnage id eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.2.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13.2.2 Transform ee de Fourier du peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.2.3 Formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.2.4 Transform ee de Fourier du signal echantillonn e . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.2.5 Th eor eme de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13.2.6 Extraction du signal initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13.2.7 E et du repliement de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13.2.8 Echantillonnage r eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13.3 Quanti cation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13.3.1 Puissance moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
13.3.2 Valeur moyenne quadratique (moment d'ordre 2) . . . . . . . . . . . . . 27
14 Syst emes de Transmission et Filtres 28
14.1 D e nitions et Propri et es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14.1.1 D e nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14.1.2 Bande Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14.2 Filtres analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14.2.1 Filtre fr equentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14.2.2 Relation Filtrage-Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14.2.3 Filtres lin eaires physiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
15 Filtres Analogiques 30
15.1 Filtres analogiques continus r ealisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15.2 Fonction de tranfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15.3 Filtres a d ephasage lin eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
15.4 Filtres Particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
15.5 Mod elisation des ltres analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
16 Filtres Num eriques 31
16.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
16.2 Filtrage lin eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
16.2.1 Transform ee en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
16.2.2 TZ et Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.3 Classi cation des ltres num eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.3.1 Filtres non r ecursifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.3.2 Filtres r ecursifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.3.3 Filtres MA ou RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.3.4 Filtres AR ou RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
16.3.5 Filtres num eriques el ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
16.4 Conception d'un ltre num erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
16.5 Restitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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- Polycopié du Cours Théorie du Signal
Cours de 2éme année (ST)
Dr. ABDELLI Radia
Maitre de conférences à l’université de Béjaia
Introduction……………………………………………………………………5
I. Généralités sur les signaux
I.1. Introduction…………………………………………………………………………..6
Définition d’un signal…………………………………………………………..6
Définition d’un système………………………………………………………..6
Exemple………………………………………………………………………...6
I.2. Classification des systèmes…………………………………………………………...7
Système continu ou discret……………………………………………………..7
Système causal………………………………………………………………….8
Système linéaire………………………………………………………………...8
Système à temps invariant……………………………………………………...9
Système EBSB (stable)…………………………………………………………9
I.3. Classification des signaux…………………………………………………………...10
Signaux pairs et impairs……………………………………………………....10
Signaux déterministes et aléatoires…………………………………………...11
I.4. Propriétés de l’impulsion de Dirac…………………………………………………..13
I.5. Energies et puissances……………………………………………………………….14
Signaux à énergie finie………………………………………………………..14
Signaux à puissance moyenne finie…………………………………...………14
I.6. Conclusion…………………………………………………………………………..15
I.7. Exercices……………………………………………………………………………15
II. Convolution et Déconvolution
II.1. Introduction…………………………………………………………………………16
Définition de réponse indicielle……………………………………………….16
Définition de la réponse impulsionnelle………………………………………16
II.2. Produit de convolution (réponse d’un système à une entrée quelconque)………….16
II.3. Propriétés du produit de convolution……………………………………………….19
II.4. Explication graphique du produit de convolution…………………………………..19
II.5. Exemple de calcul du produit de convolution……………………………………...22
II.6. Déconvolution………………………………………………………………………22
II.6.1. Méthode des transformées de Fourier…………………………………….22
II.6.2. Identification directe……………………………………………………...23
II.7. Conclusion………………………………………………………………………….23
II.8. Exercices……………………………………………………………………………23
III.Transformée de Laplace
III.1. Introduction………………………………………………………………………..24
III.2. Présentation de la Transformée de Laplace………………………………………..24
III.3. Propriétés de la Transformée de Laplace………………………………………….25
III.4. table des Transformées de Laplace………………………………………………..26
III.5. Exemple d’application sur les circuits électriques………………………………...27
Application……………………………………………………………………27
Solution………………………………………………………………………..28
III.6. Les systèmes et la Transformée de Laplace (Notion de la fonction de transfert)...28
III.7. Transformée de Laplace inverse…………………………………………………..28
Décomposition en fractions simples…………………………………………..29
Exemple 1……………………………………………………………………..29
Exemple 2……………………………………………………………………..30
III.8. Notion de région de convergence………………………………………………….31
III.9. Région de convergence-stabilité-causalité………………………………………...33
III.10. Conclusion………………………………………………………………………..33
III.11. Exercices………………………………………………………………………....33
IV.Analyse fréquentielle
IV.1. Introduction………………………………………………………………………..34
IV.2. Rappels…………………………………………………………………………….34
IV.3. Représentation d’un signal………………………………………………………...35
Exemple 1………………………………………………………………..……35
Exemple 2……………………………………………………………………..36
IV.4. Développement d’une fonction périodique en série de Fourier…………………...37
Condition de convergence des séries de Fourier (Conditions de Dirichlet)…..38
Propriétés des coefficients de Fourier………………………………………...39
IV.5. Théorème de Parceval……………………………………………………………..39
IV.6. Représentation trigonométrique de la série de Fourier…………………………….39
IV.7. Spectre d’amplitude et de phase…………………………………………………...40
IV.8. Remarques importantes……………………………………………………………40
IV.9. Analyse fréquentielle des signaux apériodiques….................................................42
IV.10. Exemple de calcul de la TF………………………………………………………43
IV.11. Conditions d’existence de la TF………………………………………………….45
IV.12. Table des Transformées de Fourier………………………………………………45
IV.13. Propriétés de la Transformée de Fourier…………………………………………46
IV.14. Réponse fréquentielle d’un système LTI (filtrage linéaire)……………………...48
Exemple……………………………………………………………………….49
Solution………………………………………………………………………..49
IV.15. Conclusion………………………………………………………………………..50
IV.16. Exercices………………………………………………………………………….50
V. Energies et puissances des signaux
V.1. Introduction…………………………………………………………………………51
V.2. Puissance temporelle d’un signal…………………………………………………...51
V.3. Puissance fréquentielle d’un signal (densité spectrale)……………………………..52
V.4. Autocorrélation et Intercorrélation des signaux…………………………………….53
V.4.1. Propriétés de la fonction d’autocorrélation……………………………….53
V.4.2. Remarque importante……………………………………………………..54
V.5. Conclusion………………………………………………………………………….54
V.6. Exercices……………………………………………………………………………55
VI. Echantillonnage et systèmes discrets
VI.1. Introduction à l’échantillonnage…………………………………………………...55
VI.2. Système échantillonné……………………………………………………………..56
VI.3. Choix de la fréquence d’échantillonnage (Théorème de Shannon).................…...58
VI.4. Reconstitution d’un signal échantillonné………………………………………….59
VI.5. Transformée en Z………………………………………………………………….61
VI.6. Propriétés de la Transformée en Z…………………………………………………62
VI.7. Table des Transformées en Z……………………………………………………...63
VI.8. Résolution des équations récurrentes.................................................................….64
VI.9. Transmittance en présence d’un bloqueur d’ordre zéro…………………………...64
VI.10. Stabilité des systèmes échantillonnés…………………………………………….64
VI.11. Conclusion………………………………………………………………………..65
VI.12. Exercices………………………………………………………………………….65
Conclusion……………………………………………………………………..66
Cours de 2éme année (ST)
Dr. ABDELLI Radia
Maitre de conférences à l’université de Béjaia
Introduction……………………………………………………………………5
I. Généralités sur les signaux
I.1. Introduction…………………………………………………………………………..6
Définition d’un signal…………………………………………………………..6
Définition d’un système………………………………………………………..6
Exemple………………………………………………………………………...6
I.2. Classification des systèmes…………………………………………………………...7
Système continu ou discret……………………………………………………..7
Système causal………………………………………………………………….8
Système linéaire………………………………………………………………...8
Système à temps invariant……………………………………………………...9
Système EBSB (stable)…………………………………………………………9
I.3. Classification des signaux…………………………………………………………...10
Signaux pairs et impairs……………………………………………………....10
Signaux déterministes et aléatoires…………………………………………...11
I.4. Propriétés de l’impulsion de Dirac…………………………………………………..13
I.5. Energies et puissances……………………………………………………………….14
Signaux à énergie finie………………………………………………………..14
Signaux à puissance moyenne finie…………………………………...………14
I.6. Conclusion…………………………………………………………………………..15
I.7. Exercices……………………………………………………………………………15
II. Convolution et Déconvolution
II.1. Introduction…………………………………………………………………………16
Définition de réponse indicielle……………………………………………….16
Définition de la réponse impulsionnelle………………………………………16
II.2. Produit de convolution (réponse d’un système à une entrée quelconque)………….16
II.3. Propriétés du produit de convolution……………………………………………….19
II.4. Explication graphique du produit de convolution…………………………………..19
II.5. Exemple de calcul du produit de convolution……………………………………...22
II.6. Déconvolution………………………………………………………………………22
II.6.1. Méthode des transformées de Fourier…………………………………….22
II.6.2. Identification directe……………………………………………………...23
II.7. Conclusion………………………………………………………………………….23
II.8. Exercices……………………………………………………………………………23
III.Transformée de Laplace
III.1. Introduction………………………………………………………………………..24
III.2. Présentation de la Transformée de Laplace………………………………………..24
III.3. Propriétés de la Transformée de Laplace………………………………………….25
III.4. table des Transformées de Laplace………………………………………………..26
III.5. Exemple d’application sur les circuits électriques………………………………...27
Application……………………………………………………………………27
Solution………………………………………………………………………..28
III.6. Les systèmes et la Transformée de Laplace (Notion de la fonction de transfert)...28
III.7. Transformée de Laplace inverse…………………………………………………..28
Décomposition en fractions simples…………………………………………..29
Exemple 1……………………………………………………………………..29
Exemple 2……………………………………………………………………..30
III.8. Notion de région de convergence………………………………………………….31
III.9. Région de convergence-stabilité-causalité………………………………………...33
III.10. Conclusion………………………………………………………………………..33
III.11. Exercices………………………………………………………………………....33
IV.Analyse fréquentielle
IV.1. Introduction………………………………………………………………………..34
IV.2. Rappels…………………………………………………………………………….34
IV.3. Représentation d’un signal………………………………………………………...35
Exemple 1………………………………………………………………..……35
Exemple 2……………………………………………………………………..36
IV.4. Développement d’une fonction périodique en série de Fourier…………………...37
Condition de convergence des séries de Fourier (Conditions de Dirichlet)…..38
Propriétés des coefficients de Fourier………………………………………...39
IV.5. Théorème de Parceval……………………………………………………………..39
IV.6. Représentation trigonométrique de la série de Fourier…………………………….39
IV.7. Spectre d’amplitude et de phase…………………………………………………...40
IV.8. Remarques importantes……………………………………………………………40
IV.9. Analyse fréquentielle des signaux apériodiques….................................................42
IV.10. Exemple de calcul de la TF………………………………………………………43
IV.11. Conditions d’existence de la TF………………………………………………….45
IV.12. Table des Transformées de Fourier………………………………………………45
IV.13. Propriétés de la Transformée de Fourier…………………………………………46
IV.14. Réponse fréquentielle d’un système LTI (filtrage linéaire)……………………...48
Exemple……………………………………………………………………….49
Solution………………………………………………………………………..49
IV.15. Conclusion………………………………………………………………………..50
IV.16. Exercices………………………………………………………………………….50
V. Energies et puissances des signaux
V.1. Introduction…………………………………………………………………………51
V.2. Puissance temporelle d’un signal…………………………………………………...51
V.3. Puissance fréquentielle d’un signal (densité spectrale)……………………………..52
V.4. Autocorrélation et Intercorrélation des signaux…………………………………….53
V.4.1. Propriétés de la fonction d’autocorrélation……………………………….53
V.4.2. Remarque importante……………………………………………………..54
V.5. Conclusion………………………………………………………………………….54
V.6. Exercices……………………………………………………………………………55
VI. Echantillonnage et systèmes discrets
VI.1. Introduction à l’échantillonnage…………………………………………………...55
VI.2. Système échantillonné……………………………………………………………..56
VI.3. Choix de la fréquence d’échantillonnage (Théorème de Shannon).................…...58
VI.4. Reconstitution d’un signal échantillonné………………………………………….59
VI.5. Transformée en Z………………………………………………………………….61
VI.6. Propriétés de la Transformée en Z…………………………………………………62
VI.7. Table des Transformées en Z……………………………………………………...63
VI.8. Résolution des équations récurrentes.................................................................….64
VI.9. Transmittance en présence d’un bloqueur d’ordre zéro…………………………...64
VI.10. Stabilité des systèmes échantillonnés…………………………………………….64
VI.11. Conclusion………………………………………………………………………..65
VI.12. Exercices………………………………………………………………………….65
Conclusion……………………………………………………………………..66
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- Cours de Théorie et Traitement de Signal
Ecole Supérieure en Génie Electrique et
Energétique Oran Dr. Fatima TAHRI
Chapitre I. GENERALITES SUR LES SIGNAUX
I.1 Introduction
I.2. Signal
I.3. Théorie du signal
I.4. Le traitement de signal
I.5. Système
I.6. Types de signal
I.7. Signal causal
I.8. Classification énergétique
I.9. Classification morphologique
I.10. Classification spectrale
I.11. Représentation temporelle/fréquentielle (spectre)
I.12. Bruit
Chapitre II. LES SIGNAUX DETERMINISTES
II.1. Introduction
II.2. Fonction signe
II.3. Echelon unité (échelon de Heaviside) 09
II.4. Fonction de Rampe 09
II.5. Fonction Rectangulaire
II.6. Fonction Triangulaire
II.7. Impulsion de Dirac
II.8. Sinus cardinal
II.9. Systèmes
Chapitre III. CONVOLUTION ET CORRELATION
III.1. Introduction
III.2. Convolution
III.3. Propriétés
III.3.3. Distributivité
III4. Corrélation
III.5. Relation entre la corrélation et la convolution
III.6. Propriétés
Chapitre IV. ANALYSE DE FOURIER
IV.1.Introduction
IV.2. L’analyse de Fourier
IV.3. Transformation de Fourier des fonctions périodiques : série de Fourier
IV. 4. Transformation de Fourier des fonctions
IV.5. Transformée de Fourier des signaux élémentaires
IV.6. Produit d’une fonction périodique par un signal à énergie finie
Chapitre V. Transformée de Laplace
V.1. Introduction
V.2. Définition de la transformée de Laplace :
V.3. Domaine de convergence (Dp)
V.4. Propriétés usuelles de la transformée de Laplace
V.5. Tableau des transformées de Laplace
V.6. Transformée inverse de Laplace
Chapitre VI. L’ECHANTILLONNAGE
VI. 1. Introduction
VI.2. Principe de l’échantillonnage
VI.3. Echantillonnage idéal d’un signal analogique
VI.4. La transformée de Fourier d’un signal échantillonné
VI.5. Problème d’échantillonnage
VI.6. Echantillonnage et recouvrement du spectre
VI.7. Enoncé du théorème de Shannon
VI.8. Quantification
VI.9. Transformée de Fourier Discrète
Chapitre VII. LA TRANSFORMEE EN Z
VII.1. Introduction
VII.2. Définition 1
VII.3. Définition 2
VII.4. La transformée en z des signaux discrets standards
VII.5. Propriétés de la transformée en Z
VII.6. Transformée inverse en Z
VII.7. La convolution et la transformée en Z
Chapitre VII. LES FILTRES ANNALOGIQUES
VIII.1. Introduction
VIII.2. Caractéristiques de base
VIII.3. Filtres passe-bas
VIII.3.1. Circuit RL série
VIII.3.2. Circuit RC série
VIII.3.3. Les courbes de Bode
VIII.4. Filtres passe-haut
VIII.5. Filtres passe-bande
VIII.5.1. Caractéristiques
VIII.5.2. Circuit RLC série
VIII.6. Filtres coupe-bande
VIII.6.1. Filtre coupe-bande RLC série
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Cours & TD de deuxième année Licence
Filières : Electronique & Télécommunications
Dr. Mohamed LADJAL
UNIVERSITE MOHAMED BOUDIAF - M’SILA
CHAPITRE I GENERALITES SUR LES SIGNAUX
Introduction……………………….……………………………………………….………. 01
1. De la théorie du signal au traitement du signal……………………………………….. 02
2. Signal et bruit……………………….………………………………………..………... 04
2.1. Définition d’un signal……………………..………………………….……...… 04
2.1. Définition d’un bruit……………………..………………………….……...… 04
3. Principales fonctions du traitement de signal…………..………..………….…………. 05
4.Domaines d’applications……………………………………………………………….. 06
5. Modèles et mesure des signaux………………………………………………………… 07
5.1. Modèle mathématique…………………………………………………………... 07
5.2. Modèle fonctionnel……………………………………………………………... 07
6.Classification des signaux……………………………………………………………… 08
6.1. Dimensionnalité………………..………………………………………………. 08
6.2. Caractéristique temporelles....……..……………………………………………. 09
6.3. Valeurs prises par le signal………...……………………………………………. 10
6.4. Prédictibilité des signaux………………………………………………………...
6.5. Signaux physiquement réalisables……………………………………………….
7.Modes de classification…………………………………………………………………
7.1. Classification phénoménologique………………………………………………. 11
7.2. Classification énergétique……………………………………………………….. 11
7.3. Classification morphologique…………………………………………………… 12
7.4. Classification spectrale…………………………………………………………. 13
7.5. Classification dimensionnelle…………………………………………………… 14
8. Classification phénoménologique .................................................................................... 14
8.1. Signaux déterministes……………………………………………...……………. 14
8.2. Signaux aléatoires…….…………………………………………………………. 16
9. Processus aléatoire……………….................................................................................... 17
9.1. Caractéristiques………………………………………………………………… 17
9.1.1. La fonction de répartition……………………………………………... 18
9.1.2. La densité de probabilité……………………………………………… 18
9.1.3. Espérance mathématique……………………………….…………….. 18
9.1.4. Les moyennes…………………………………………………………. 19
9.2. Processus aléatoire complexe…………………………………...……………… 20
9.3. Stationnarité……………………………………………………………………. 21
9.3.1. Processus strictement stationnaire (au sens strict)…………………… 21
9.3.2. Processus faiblement stationnaire (au sens large)……………………. 22
9.4. Ergodicité………………………………………………………………………... 22
10. Signaux et Systèmes…………………………………………………………………… 23
11. Fonctions particulières………………………………………………………………… 23
11.1. Fonction impulsion de Dirac………………………………………………….. 23
11.2. Fonction signe…………………………………………………………………. 25
11.3. Fonction saut unité (ou Echelon)……………………………………………… 25
11.4. Fonction rampe………………………………………………………………… 25
11.5. Fonction porte…………………………………………………………………. 26
11.6. Fonction triangulaire…………………………………………………………... 26
11.7. Fonction sinus cardinal………………………………………………………… 27
12. Notions de puissance et d’énergie……………………………………………………... 27
12.1. Energie d’un signal……………………………………………………………. 27
12.2. Puissance moyenne d’un signal……………………………………………….. 27
12.3. Signaux à énergie finie…………………………………………………...……. 28
12.4. Signaux à puissance moyenne finie…………………………………………… 28
CHAPITRE II ANALYSE DE FOURIER
Introduction…………………………………………………………….………………….. 29
1. Les séries de Fourier………………………………………………………………. 29
1.1. Série de Fourier complexe………………………………………………………. 29
1.2. Spectre fréquentiel…………………………………………...…………...…...... 30
1.3. Exemple : décomposition d'un train d'impulsions…………………….………… 30
1.4. Séries de Fourier réelles…………………………………………………………. 32
1.5. Séries de Fourier alternative…………………………………………………….. 33
1.6. Développement d’une fonction périodique en série de Fourier………………… 34
1.6.1. Série d’exponentielles imaginaires…………………………..………. 34
1.6.2. Série de sinus et de cosinus…………………………………………… 34
1.6.3. Egalité de Bessel–Parseval…………………………………………… 34
1.7. Développement d’une fonction de support fermé………………………………. 34
1.7.1. Exemple……………………………………………………………… 34
1.7.2. Fonction spatiale et temporelle……………………………………… 35
2. La transformation de Fourier………………………………………………………….. 35
2.1. Transformation de Fourier : définition…………………………………………. 35
2.2. Spectre d'amplitude et spectre de phase………………………………………… 36
2.3. Exemple…………………………………………………………………………. 36
2.4. Fonction de transfert…………………………………………………………….. 38
2.5. Principales propriétés de la transformée de Fourier……………………………. 40
2.6. Théorème de Parseval………………………………………………………….. 41
2.6.1. Energie, Valeur efficace par la série de Fourier – Formule de Paseval 41
CHAPITRE III TRANSFORMEE DE LAPLACE
Introduction……………………………………………………..……………………….... 45
1. Transformée de Laplace………………………………………………………………… 45
1.1. Définition………………………………………………………………………… 45
1.2. Ordre exponentiel………………………………………………………………… 46
1.3. Existence de la Transformation de Laplace……………………………………… 46
1.4. Unicité de la Transformation de Laplace………………………………………... 46
1.4.1. Transformée Bilatérale………….……………………………………... 46
1.5. Transformation de Laplace Inverse………………………………………………. 46
2. Propriétés de la Transformée de Laplace……………………………………………….. 47
3.Fonctions particulières…………………………………………………………………... 48
4. Méthode de Laplace (Calcul opérationnel)………………….…………………………. 50
5.Modélisation……………………………………………………………………………. 53
6. Transformées usuelles………………………………………………………………….. 54
7.Fonction de transfert……………………………………………………………………. 55
8. Opérations sur les transferts……………………………………………………………. 55
9. Diagramme de Bode……………………………………………………………………. 56
10. Plan de Nyquist – Abaque de Hall…………………………………………………… 56
11. Plan de Black (Nichols) – Abaque de Black…………………………………………. 57
12. Analyse temporelle et fréquentielle………………………………………………….. 57
CHAPITRE IV PRODUIT DE CONVOLUTION ET CORRELATION DES SIGNAUX
Introduction………………………………………………………………………………... 63
1. Produit de convolution………………………………...…………………..………….... 63
1.1. Formulation du produit de convolution .……………………………..………….... 63
1.1.1. Définition du produit de convolution……………………………………... 64
1.2. Propriétés du produit de convolution………………………………...…….…….. 65
1.3. Produit de convolution et impulsion de Dirac …………………...……………….. 65
1.4. Déconvolution ……………...………………………..…………………………... 66
2. Fonction de corrélation……………………………..…………………………………... 66
2.1. Fonction d’auto-corrélation ………..….……………………………………...…... 67
2.1.1. Fonction d’auto-corrélation statistique………...…………………………… 67
2.1.2. Fonction d’auto-corrélation temporelle………...…………...……………… 67
2.1.3. Propriétés de la fonction d’auto-corrélation………………………………… 67
2.1.4. Théorème de PARSEVAL………………………………………………….. 69
2.2. Fonction d’inter-corrélation ………..….……………………………………...…... 69
2.2.1. Fonction d’inter-corrélation statistique………...…………………………… 69
2.2.2. Fonction d’inter-corrélation temporelle………...…………...……………… 69
2.2.3. Propriétés de la fonction d’inter-corrélation…...…………………………… 69
2.3. Coefficient de corrélation…………………………………………………………. 70
2.3.1. Corrélation partielle………………………………………………………... 70
2.4. Théorème de Wiener- Kinchine………………………………………………….. 71
CHAPITRE V ECHANTILLONNAGE ET SIGNAUX DISCRETS
Introduction………………………………………………………………………………... 72
1. Signaux discrets……………………….……..……………………………………….... 73
1.1. Signaux élémentaires……………………………………………………………… 73
1.2. Energie et puissance des signaux discrets………………………………………… 74
2.Echantillonnage………………………………………………………………………... 74
3.Echantillonnage idéalisé……………………………………………………………….. 75
4.Echantillonnage réel ………………..………………………………………….…….. 76
5. Théorème d’échantillonnage ...…………………………..…………………………... 76
6. Conversion analogique - numérique et numérique – analogique……………………… 77
7.Quantification………………………………………………………………………….. 79
8. Classification des systèmes de traitement…………………………………………….. 79
8.1.Systèmes numériques……………………………………………………………… 79
8.2. Systèmes causaux……………………………………………...………………….. 80
8.3. Systèmes stables……………………..……………………………………...…….. 80
8.4.Systèmes linéaires………………………………………………………………..... 80
8.5. Systèmes linéaires discrets invariants dans le temps (SLIT)…………………….. 80
9.Equation aux différences……………………………………………………………… 81
9.1.Equation aux différences linéaire à coefficients constants………………………... 82
9.2.Réponse impulsionnelle et produit de convolution……………………………….. 82
9.3. Réponse fréquentielle…………………………………………………………….. 82
10. Transformée en Z……………………………………………………………………. 83
10.1. Existence de la transformée en Z……………………………………………….. 84
10.2. Transformée en z des signaux élémentaires……………………………………. 84
10.3. Quelques propriétés de la transformée en Z…………………………………… 85
10.4. Application à la fonction de transfert en Z……………………………………... 86
10.5. Calcul des réponses temporelles et fréquentielles d’un processus discret….….. 86
10.6. Transformée en Z inverse………………………………………………………. 87
Travaux dirigés TD
Ecole Supérieure en Génie Electrique et
Energétique Oran Dr. Fatima TAHRI
Chapitre I. GENERALITES SUR LES SIGNAUX
I.1 Introduction
I.2. Signal
I.3. Théorie du signal
I.4. Le traitement de signal
I.5. Système
I.6. Types de signal
I.7. Signal causal
I.8. Classification énergétique
I.9. Classification morphologique
I.10. Classification spectrale
I.11. Représentation temporelle/fréquentielle (spectre)
I.12. Bruit
Chapitre II. LES SIGNAUX DETERMINISTES
II.1. Introduction
II.2. Fonction signe
II.3. Echelon unité (échelon de Heaviside) 09
II.4. Fonction de Rampe 09
II.5. Fonction Rectangulaire
II.6. Fonction Triangulaire
II.7. Impulsion de Dirac
II.8. Sinus cardinal
II.9. Systèmes
Chapitre III. CONVOLUTION ET CORRELATION
III.1. Introduction
III.2. Convolution
III.3. Propriétés
III.3.3. Distributivité
III4. Corrélation
III.5. Relation entre la corrélation et la convolution
III.6. Propriétés
Chapitre IV. ANALYSE DE FOURIER
IV.1.Introduction
IV.2. L’analyse de Fourier
IV.3. Transformation de Fourier des fonctions périodiques : série de Fourier
IV. 4. Transformation de Fourier des fonctions
IV.5. Transformée de Fourier des signaux élémentaires
IV.6. Produit d’une fonction périodique par un signal à énergie finie
Chapitre V. Transformée de Laplace
V.1. Introduction
V.2. Définition de la transformée de Laplace :
V.3. Domaine de convergence (Dp)
V.4. Propriétés usuelles de la transformée de Laplace
V.5. Tableau des transformées de Laplace
V.6. Transformée inverse de Laplace
Chapitre VI. L’ECHANTILLONNAGE
VI. 1. Introduction
VI.2. Principe de l’échantillonnage
VI.3. Echantillonnage idéal d’un signal analogique
VI.4. La transformée de Fourier d’un signal échantillonné
VI.5. Problème d’échantillonnage
VI.6. Echantillonnage et recouvrement du spectre
VI.7. Enoncé du théorème de Shannon
VI.8. Quantification
VI.9. Transformée de Fourier Discrète
Chapitre VII. LA TRANSFORMEE EN Z
VII.1. Introduction
VII.2. Définition 1
VII.3. Définition 2
VII.4. La transformée en z des signaux discrets standards
VII.5. Propriétés de la transformée en Z
VII.6. Transformée inverse en Z
VII.7. La convolution et la transformée en Z
Chapitre VII. LES FILTRES ANNALOGIQUES
VIII.1. Introduction
VIII.2. Caractéristiques de base
VIII.3. Filtres passe-bas
VIII.3.1. Circuit RL série
VIII.3.2. Circuit RC série
VIII.3.3. Les courbes de Bode
VIII.4. Filtres passe-haut
VIII.5. Filtres passe-bande
VIII.5.1. Caractéristiques
VIII.5.2. Circuit RLC série
VIII.6. Filtres coupe-bande
VIII.6.1. Filtre coupe-bande RLC série
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- Support de Cours Théorie du signal
Cours & TD de deuxième année Licence
Filières : Electronique & Télécommunications
Dr. Mohamed LADJAL
UNIVERSITE MOHAMED BOUDIAF - M’SILA
CHAPITRE I GENERALITES SUR LES SIGNAUX
Introduction……………………….……………………………………………….………. 01
1. De la théorie du signal au traitement du signal……………………………………….. 02
2. Signal et bruit……………………….………………………………………..………... 04
2.1. Définition d’un signal……………………..………………………….……...… 04
2.1. Définition d’un bruit……………………..………………………….……...… 04
3. Principales fonctions du traitement de signal…………..………..………….…………. 05
4.Domaines d’applications……………………………………………………………….. 06
5. Modèles et mesure des signaux………………………………………………………… 07
5.1. Modèle mathématique…………………………………………………………... 07
5.2. Modèle fonctionnel……………………………………………………………... 07
6.Classification des signaux……………………………………………………………… 08
6.1. Dimensionnalité………………..………………………………………………. 08
6.2. Caractéristique temporelles....……..……………………………………………. 09
6.3. Valeurs prises par le signal………...……………………………………………. 10
6.4. Prédictibilité des signaux………………………………………………………...
6.5. Signaux physiquement réalisables……………………………………………….
7.Modes de classification…………………………………………………………………
7.1. Classification phénoménologique………………………………………………. 11
7.2. Classification énergétique……………………………………………………….. 11
7.3. Classification morphologique…………………………………………………… 12
7.4. Classification spectrale…………………………………………………………. 13
7.5. Classification dimensionnelle…………………………………………………… 14
8. Classification phénoménologique .................................................................................... 14
8.1. Signaux déterministes……………………………………………...……………. 14
8.2. Signaux aléatoires…….…………………………………………………………. 16
9. Processus aléatoire……………….................................................................................... 17
9.1. Caractéristiques………………………………………………………………… 17
9.1.1. La fonction de répartition……………………………………………... 18
9.1.2. La densité de probabilité……………………………………………… 18
9.1.3. Espérance mathématique……………………………….…………….. 18
9.1.4. Les moyennes…………………………………………………………. 19
9.2. Processus aléatoire complexe…………………………………...……………… 20
9.3. Stationnarité……………………………………………………………………. 21
9.3.1. Processus strictement stationnaire (au sens strict)…………………… 21
9.3.2. Processus faiblement stationnaire (au sens large)……………………. 22
9.4. Ergodicité………………………………………………………………………... 22
10. Signaux et Systèmes…………………………………………………………………… 23
11. Fonctions particulières………………………………………………………………… 23
11.1. Fonction impulsion de Dirac………………………………………………….. 23
11.2. Fonction signe…………………………………………………………………. 25
11.3. Fonction saut unité (ou Echelon)……………………………………………… 25
11.4. Fonction rampe………………………………………………………………… 25
11.5. Fonction porte…………………………………………………………………. 26
11.6. Fonction triangulaire…………………………………………………………... 26
11.7. Fonction sinus cardinal………………………………………………………… 27
12. Notions de puissance et d’énergie……………………………………………………... 27
12.1. Energie d’un signal……………………………………………………………. 27
12.2. Puissance moyenne d’un signal……………………………………………….. 27
12.3. Signaux à énergie finie…………………………………………………...……. 28
12.4. Signaux à puissance moyenne finie…………………………………………… 28
CHAPITRE II ANALYSE DE FOURIER
Introduction…………………………………………………………….………………….. 29
1. Les séries de Fourier………………………………………………………………. 29
1.1. Série de Fourier complexe………………………………………………………. 29
1.2. Spectre fréquentiel…………………………………………...…………...…...... 30
1.3. Exemple : décomposition d'un train d'impulsions…………………….………… 30
1.4. Séries de Fourier réelles…………………………………………………………. 32
1.5. Séries de Fourier alternative…………………………………………………….. 33
1.6. Développement d’une fonction périodique en série de Fourier………………… 34
1.6.1. Série d’exponentielles imaginaires…………………………..………. 34
1.6.2. Série de sinus et de cosinus…………………………………………… 34
1.6.3. Egalité de Bessel–Parseval…………………………………………… 34
1.7. Développement d’une fonction de support fermé………………………………. 34
1.7.1. Exemple……………………………………………………………… 34
1.7.2. Fonction spatiale et temporelle……………………………………… 35
2. La transformation de Fourier………………………………………………………….. 35
2.1. Transformation de Fourier : définition…………………………………………. 35
2.2. Spectre d'amplitude et spectre de phase………………………………………… 36
2.3. Exemple…………………………………………………………………………. 36
2.4. Fonction de transfert…………………………………………………………….. 38
2.5. Principales propriétés de la transformée de Fourier……………………………. 40
2.6. Théorème de Parseval………………………………………………………….. 41
2.6.1. Energie, Valeur efficace par la série de Fourier – Formule de Paseval 41
CHAPITRE III TRANSFORMEE DE LAPLACE
Introduction……………………………………………………..……………………….... 45
1. Transformée de Laplace………………………………………………………………… 45
1.1. Définition………………………………………………………………………… 45
1.2. Ordre exponentiel………………………………………………………………… 46
1.3. Existence de la Transformation de Laplace……………………………………… 46
1.4. Unicité de la Transformation de Laplace………………………………………... 46
1.4.1. Transformée Bilatérale………….……………………………………... 46
1.5. Transformation de Laplace Inverse………………………………………………. 46
2. Propriétés de la Transformée de Laplace……………………………………………….. 47
3.Fonctions particulières…………………………………………………………………... 48
4. Méthode de Laplace (Calcul opérationnel)………………….…………………………. 50
5.Modélisation……………………………………………………………………………. 53
6. Transformées usuelles………………………………………………………………….. 54
7.Fonction de transfert……………………………………………………………………. 55
8. Opérations sur les transferts……………………………………………………………. 55
9. Diagramme de Bode……………………………………………………………………. 56
10. Plan de Nyquist – Abaque de Hall…………………………………………………… 56
11. Plan de Black (Nichols) – Abaque de Black…………………………………………. 57
12. Analyse temporelle et fréquentielle………………………………………………….. 57
CHAPITRE IV PRODUIT DE CONVOLUTION ET CORRELATION DES SIGNAUX
Introduction………………………………………………………………………………... 63
1. Produit de convolution………………………………...…………………..………….... 63
1.1. Formulation du produit de convolution .……………………………..………….... 63
1.1.1. Définition du produit de convolution……………………………………... 64
1.2. Propriétés du produit de convolution………………………………...…….…….. 65
1.3. Produit de convolution et impulsion de Dirac …………………...……………….. 65
1.4. Déconvolution ……………...………………………..…………………………... 66
2. Fonction de corrélation……………………………..…………………………………... 66
2.1. Fonction d’auto-corrélation ………..….……………………………………...…... 67
2.1.1. Fonction d’auto-corrélation statistique………...…………………………… 67
2.1.2. Fonction d’auto-corrélation temporelle………...…………...……………… 67
2.1.3. Propriétés de la fonction d’auto-corrélation………………………………… 67
2.1.4. Théorème de PARSEVAL………………………………………………….. 69
2.2. Fonction d’inter-corrélation ………..….……………………………………...…... 69
2.2.1. Fonction d’inter-corrélation statistique………...…………………………… 69
2.2.2. Fonction d’inter-corrélation temporelle………...…………...……………… 69
2.2.3. Propriétés de la fonction d’inter-corrélation…...…………………………… 69
2.3. Coefficient de corrélation…………………………………………………………. 70
2.3.1. Corrélation partielle………………………………………………………... 70
2.4. Théorème de Wiener- Kinchine………………………………………………….. 71
CHAPITRE V ECHANTILLONNAGE ET SIGNAUX DISCRETS
Introduction………………………………………………………………………………... 72
1. Signaux discrets……………………….……..……………………………………….... 73
1.1. Signaux élémentaires……………………………………………………………… 73
1.2. Energie et puissance des signaux discrets………………………………………… 74
2.Echantillonnage………………………………………………………………………... 74
3.Echantillonnage idéalisé……………………………………………………………….. 75
4.Echantillonnage réel ………………..………………………………………….…….. 76
5. Théorème d’échantillonnage ...…………………………..…………………………... 76
6. Conversion analogique - numérique et numérique – analogique……………………… 77
7.Quantification………………………………………………………………………….. 79
8. Classification des systèmes de traitement…………………………………………….. 79
8.1.Systèmes numériques……………………………………………………………… 79
8.2. Systèmes causaux……………………………………………...………………….. 80
8.3. Systèmes stables……………………..……………………………………...…….. 80
8.4.Systèmes linéaires………………………………………………………………..... 80
8.5. Systèmes linéaires discrets invariants dans le temps (SLIT)…………………….. 80
9.Equation aux différences……………………………………………………………… 81
9.1.Equation aux différences linéaire à coefficients constants………………………... 82
9.2.Réponse impulsionnelle et produit de convolution……………………………….. 82
9.3. Réponse fréquentielle…………………………………………………………….. 82
10. Transformée en Z……………………………………………………………………. 83
10.1. Existence de la transformée en Z……………………………………………….. 84
10.2. Transformée en z des signaux élémentaires……………………………………. 84
10.3. Quelques propriétés de la transformée en Z…………………………………… 85
10.4. Application à la fonction de transfert en Z……………………………………... 86
10.5. Calcul des réponses temporelles et fréquentielles d’un processus discret….….. 86
10.6. Transformée en Z inverse………………………………………………………. 87
Travaux dirigés TD
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