- Analyse complexe Cours de L3, ENS Lyon, automne 2014 Jean-Claude Sikorav
1 Pr´eliminaires : notations, point `a l’infini, fonctions ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Les deux points de vue sur C
1.2 Notations
1.3 Point `a l’infini, sph`ere de Riemann
1.4 Polynˆomes . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Fonctions rationnelles
1.6 Fonctions alg´ebriques, fonctions puissances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.7 Exponentielle
1.8 Logarithme
1.9 Fonctions ´el´ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
2 Fonctions holomorphes d’une variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Fonctions C-d´erivables, fonctions holomorphes
2.2 Exemples de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Exemples de fonctions non holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Formule et repr´esentation int´egrales de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
3.1 Int´egrale d’une fonction le long d’un chemin, d’un lacet
3.2 Int´egrale sur le bord d’un domaine compact . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Formule int´egrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Repr´esentation int´egrale de Cauchy . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Analyticit´e des fonctions holomorphes
3.6 R´eciproque de la repr´esentation de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.7 Caract´erisation des fonctions holomorphes par la formule de Cauchy (th´eor`eme de Morera) 17
4 Z´eros, principe du maximum, th´eor`eme de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1 Z´eros des fonctions holomorphes, degr´e en un point
4.2 Prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Principe du maximum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Th´eor`eme de Liouville
5 D´eriv´ees, int´egrales, suites de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1 Repr´esentation int´egrale des d´eriv´ees et holomorphie d’une int´egrale `a param`etre
5.2 Estim´ee de Cauchy sur les d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Suites de fonctions holomorphes
5.4 S´eries, produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.5 Familles sommables, sommation par paquets . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.6 Quelques exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 S´eries de Laurent, singularit´es isol´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.1 S´eries de Laurent
6.2 Singularit´es isol´ees . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 Singularit´es levables
6.4 Pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
6.5 Fonctions m´eromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.6 Fonctions m´eromorphes sur un ouvert de C
6.7 La fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.8 Singularit´es essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7 Formule des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.1 R´esidu en un point
7.2 Formule des r´esidus
7.3 Principe de l’argument . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8 Propri´et´es locales des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.1 Ouverture d’une fonction holomorphe
8.2 Th´eor`eme d’inversion locale
8.3 Repr´esentation conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.4 Forme normale locale d’une fonction holomorphe
8.5 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9 Indice, cycles, formule de Cauchy g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.1 Homotopie de lacets
9.2 Indice d’un lacet par rapport `a un point
9.3 Chaˆınes et cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.4 Indice du bord d’un domaine par rapport `a un point . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.5 Formules de Cauchy et des r´esidus g´en´erales
10 R´egions simplement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10.1 R´egions simplement connexes et homologiquement triviales
10.2 Lemme de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10.3 Automorphismes du disque ou du demi-plan
10.4 Th´eor`eme de repr´esentation conforme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11 M´etrique hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.1 Lemme de Schwarz-Pick
11.2 M´etrique et distance hyperbolique sur !
11.3 Courbure d’une m´etrique conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1 Pr´eliminaires : notations, point `a l’infini, fonctions ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Les deux points de vue sur C
1.2 Notations
1.3 Point `a l’infini, sph`ere de Riemann
1.4 Polynˆomes . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Fonctions rationnelles
1.6 Fonctions alg´ebriques, fonctions puissances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.7 Exponentielle
1.8 Logarithme
1.9 Fonctions ´el´ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
2 Fonctions holomorphes d’une variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Fonctions C-d´erivables, fonctions holomorphes
2.2 Exemples de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Exemples de fonctions non holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Formule et repr´esentation int´egrales de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
3.1 Int´egrale d’une fonction le long d’un chemin, d’un lacet
3.2 Int´egrale sur le bord d’un domaine compact . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Formule int´egrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Repr´esentation int´egrale de Cauchy . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Analyticit´e des fonctions holomorphes
3.6 R´eciproque de la repr´esentation de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.7 Caract´erisation des fonctions holomorphes par la formule de Cauchy (th´eor`eme de Morera) 17
4 Z´eros, principe du maximum, th´eor`eme de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1 Z´eros des fonctions holomorphes, degr´e en un point
4.2 Prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Principe du maximum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Th´eor`eme de Liouville
5 D´eriv´ees, int´egrales, suites de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1 Repr´esentation int´egrale des d´eriv´ees et holomorphie d’une int´egrale `a param`etre
5.2 Estim´ee de Cauchy sur les d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Suites de fonctions holomorphes
5.4 S´eries, produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.5 Familles sommables, sommation par paquets . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.6 Quelques exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 S´eries de Laurent, singularit´es isol´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.1 S´eries de Laurent
6.2 Singularit´es isol´ees . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 Singularit´es levables
6.4 Pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
6.5 Fonctions m´eromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.6 Fonctions m´eromorphes sur un ouvert de C
6.7 La fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.8 Singularit´es essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7 Formule des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.1 R´esidu en un point
7.2 Formule des r´esidus
7.3 Principe de l’argument . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8 Propri´et´es locales des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.1 Ouverture d’une fonction holomorphe
8.2 Th´eor`eme d’inversion locale
8.3 Repr´esentation conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.4 Forme normale locale d’une fonction holomorphe
8.5 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9 Indice, cycles, formule de Cauchy g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.1 Homotopie de lacets
9.2 Indice d’un lacet par rapport `a un point
9.3 Chaˆınes et cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.4 Indice du bord d’un domaine par rapport `a un point . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.5 Formules de Cauchy et des r´esidus g´en´erales
10 R´egions simplement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10.1 R´egions simplement connexes et homologiquement triviales
10.2 Lemme de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10.3 Automorphismes du disque ou du demi-plan
10.4 Th´eor`eme de repr´esentation conforme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11 M´etrique hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.1 Lemme de Schwarz-Pick
11.2 M´etrique et distance hyperbolique sur !
11.3 Courbure d’une m´etrique conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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- Analyse Complexe P. Eyssidieux
Transcrit par Idriss Mazari É.N.S Lyon, 2013-2014
Transcrit par Idriss Mazari É.N.S Lyon, 2013-2014
1 Équations de Cauchy-Riemann, fonctions holomorphes et séries entières 5
I Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . . . . . . . . . ..... . 5
I.1 Rappels et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . ...... . . 5
I.2 Reformulation en termes de différentiabilité . . . . . . . . . . . ........... . . . . . . 6
II Dérivées partielles et équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.1 Reformulation en termes de dérivées partielles . . . . . . . . . ....... . . . . . . . 6
II.2 Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................... . . . . 7
II.3 Application aux fonctions harmoniques . . . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . 7
III Séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... . . . . . . . . 7
IV Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . . . . . . . . . 7
2 La formule de Cauchy et ses conséquences ...................................................9
I Rappels : formes différentielles et intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................... . . . . . . 9
I.2 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... . . . . . . 9
II Formule de Cauchy 1.0 : le lemme de Goursat . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . 10
III Les compacts réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... . . . . . . . . . 11
III.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... . 11
III.2 Quelques lemmes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . . . . . . . . 11
III.3 Formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................... . . . 12
I Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . . . . . . . . . ..... . 5
I.1 Rappels et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . ...... . . 5
I.2 Reformulation en termes de différentiabilité . . . . . . . . . . . ........... . . . . . . 6
II Dérivées partielles et équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.1 Reformulation en termes de dérivées partielles . . . . . . . . . ....... . . . . . . . 6
II.2 Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................... . . . . 7
II.3 Application aux fonctions harmoniques . . . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . 7
III Séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... . . . . . . . . 7
IV Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . . . . . . . . . 7
2 La formule de Cauchy et ses conséquences ...................................................9
I Rappels : formes différentielles et intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................... . . . . . . 9
I.2 Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... . . . . . . 9
II Formule de Cauchy 1.0 : le lemme de Goursat . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . 10
III Les compacts réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... . . . . . . . . . 11
III.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................... . 11
III.2 Quelques lemmes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . . . . . . . . 11
III.3 Formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................... . . . 12
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- Analyse complexe Cours et exercices corriges
Andre Giroux Departement de mathematiques et statistique Universite de Montreal 2013
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Andre Giroux Departement de mathematiques et statistique Universite de Montreal 2013
1 Les nombres complexes 9
1.1 Propri et es alg ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Propri et es topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 L'in ni en analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Les fonctions complexes 23
2.1 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Polyn^omes et fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Application aux s eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Les fonctions holomorphes 37
3.1 D erivabilit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Les equations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Le calcul int egral 45
4.1 Propri et es des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Int egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Les th eor emes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Propri et es analytiques des fonctions holomorphes 61
5.1 L'analycit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 La propri et e des z eros isol es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 La propri et e du module maximum . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Table des mati eres
6 Le calcul des r esidus 69
6.1 Singularit es isol ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 R esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 La propri et e de l'application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Application aux transform ees de Fourier . . . . . . . . . . . . . 77
6.5 Application au calcul d'int egrales diverses . . . . . . . . . . . . 79
6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7 Propri et es g eom etriques des fonctions holomorphes 87
7.1 Transformations conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 Les transformations homographiques . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8 Les fonctions harmoniques 95
8.1 L' equation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 Propri et es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3 Application aux EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9 Solutions des exercices 105
9.1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Les fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3 Les fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.4 Le calcul int egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.5 Propri et es analytiques des fonctions holomorphes . . . . . . 125
9.6 Le calcul des r esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.7 Propri et es g eom etriques des fonctions holomorphes . . . . . . . 133
9.8 Les fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.1 Propri et es alg ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Propri et es topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 L'in ni en analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Les fonctions complexes 23
2.1 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Polyn^omes et fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Application aux s eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Les fonctions holomorphes 37
3.1 D erivabilit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Les equations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Le calcul int egral 45
4.1 Propri et es des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Int egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Les th eor emes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Propri et es analytiques des fonctions holomorphes 61
5.1 L'analycit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 La propri et e des z eros isol es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 La propri et e du module maximum . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Table des mati eres
6 Le calcul des r esidus 69
6.1 Singularit es isol ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 R esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 La propri et e de l'application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Application aux transform ees de Fourier . . . . . . . . . . . . . 77
6.5 Application au calcul d'int egrales diverses . . . . . . . . . . . . 79
6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7 Propri et es g eom etriques des fonctions holomorphes 87
7.1 Transformations conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 Les transformations homographiques . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8 Les fonctions harmoniques 95
8.1 L' equation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 Propri et es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3 Application aux EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9 Solutions des exercices 105
9.1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Les fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3 Les fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.4 Le calcul int egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.5 Propri et es analytiques des fonctions holomorphes . . . . . . 125
9.6 Le calcul des r esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.7 Propri et es g eom etriques des fonctions holomorphes . . . . . . . 133
9.8 Les fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
- Analyse Complexe Elémentaire Système LMD Licence Mathématiques Semestre 4 Universite Ferhat Abbas, Sétif 1
El-Bachir Yallaoui
Hamid Benseridi
1 Le corps des nombres complexes et sa topologie......................... 1
1.1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Racines n-ième d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Topologie de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Di erentiabilit e d'une fonction complexe.................................. 17
2.1 Fonction d’une variable complexe à valeur complexe . .. . . . . . . . . . . 17
2.2 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Différentiabilité, analycité et holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Conditions de Cauchy-Riemann et Fonctions Harmoniques .. . . . . . . 24
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Fonctions el ementaires .....................................................37
3.1 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Fonctions exponentielle et logarithmique complexes . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 La fonction puissance générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Fonctions trigonométriques et hyperboliques complexes . . . . . . . . . . 46
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Int egration complexe 52
4.1 Intégration curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Primitives et indépendance du chemin d’intégration . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Formule d’intégration de Cauchy et ses conséquences . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 S eries de nombres complexes........................................... 75
5.1 Suites et séries de nombres complexes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 75
5.2 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Séries de Taylor et de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4 Zéros et singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Le th eor eme des r esidus de Cauchy.................................. 103
6.1 Les résidus et leurs calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Application du théorème des résidus au calcul intégral . . . . . . . . 108
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
El-Bachir Yallaoui
Hamid Benseridi
1 Le corps des nombres complexes et sa topologie......................... 1
1.1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Racines n-ième d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Topologie de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Di erentiabilit e d'une fonction complexe.................................. 17
2.1 Fonction d’une variable complexe à valeur complexe . .. . . . . . . . . . . 17
2.2 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Différentiabilité, analycité et holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Conditions de Cauchy-Riemann et Fonctions Harmoniques .. . . . . . . 24
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Fonctions el ementaires .....................................................37
3.1 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Fonctions exponentielle et logarithmique complexes . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 La fonction puissance générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Fonctions trigonométriques et hyperboliques complexes . . . . . . . . . . 46
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Int egration complexe 52
4.1 Intégration curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Primitives et indépendance du chemin d’intégration . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Formule d’intégration de Cauchy et ses conséquences . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 S eries de nombres complexes........................................... 75
5.1 Suites et séries de nombres complexes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 75
5.2 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Séries de Taylor et de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4 Zéros et singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Le th eor eme des r esidus de Cauchy.................................. 103
6.1 Les résidus et leurs calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3 Application du théorème des résidus au calcul intégral . . . . . . . . 108
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
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- Cours Analyse complexe (Maths 4)
2 année LMD-Sciences et Techniques
Ce travail pour mes étudiants Départements - Génie Mécanique - Génie Civil
1 Fonctions holomorphes (Conditions de Cauchy Riemann) .............2
1.1 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Fonctions Holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Conditions de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Fonctions élémentaires ...........................................................9
2.1 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Propriétés de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Formule d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Fonction Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Intégration dans le domaine complexe ..............................15
3.1 Chemins et courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Intégration le long d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 Longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.4 Théorème d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.5 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.6 Formule intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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- Analyse Complexe série n°3 + Corrigé SMP 3 2014-2015 تحميل
2 année LMD-Sciences et Techniques
Ce travail pour mes étudiants Départements - Génie Mécanique - Génie Civil
1 Fonctions holomorphes (Conditions de Cauchy Riemann) .............2
1.1 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Fonctions Holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Conditions de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Fonctions élémentaires ...........................................................9
2.1 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Propriétés de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Formule d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Fonction Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Intégration dans le domaine complexe ..............................15
3.1 Chemins et courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Intégration le long d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 Longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.4 Théorème d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.5 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.6 Formule intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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- Notes de Cours du module Analyse Complexe (Math 4)
Par LAADJ Toufik Pour Deuxième année Licence
Domaine : Sciences et Technologies
USTHB : Bab Ezzouar Alger
Description du Cours
0 Les nombres complexes 1
0.1 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.1 Opérations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1.2 Valeur absolue (ou module) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Représentation graphique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2.1 Courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3 Forme polaire des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3.1 Formule de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.3.2 Racines d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Fonctions élémentaires 7
1.1 Fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Fonctions uniformes et multiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Fonctions inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Les fonctions polynômiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Table des matières
1.2.3 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.5 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6 Fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.7 La fonction z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.8 Fonctions trigonométriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.9 Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Dérivation dans le domaine complexe 15
2.1 Domaines dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Conditions de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.5 Règle de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.6 Points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Intégration dans le domaine complexe 23
3.1 Chemins et courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Intégration le long d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Théorèmes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 Domaines simplement ou multiplement connexes . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.3 Primitives et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.4 Formule intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Séries in…nies, séries de Taylor, séries de Laurent 35
4.1 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Table des matières
4.3.1 Quelques séries particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.1 Classi…cation des singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Théorème des résidus 43
5.1 Résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 Calcul des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Le théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Application du théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.1 Théorèmes particuliers utilisés pour le calcul d’intégrales . . . . . . . . . 47
5.3.2 Application aux transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.3 Calcul d’intégrales dé…nies diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Références 57
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- ANALYSE COMPLEXE Université Chouaïb Doukkali Maroc تحميل
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Par LAADJ Toufik Pour Deuxième année Licence
Domaine : Sciences et Technologies
USTHB : Bab Ezzouar Alger
Description du Cours
0 Les nombres complexes 1
0.1 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.1 Opérations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1.2 Valeur absolue (ou module) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Représentation graphique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2.1 Courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3 Forme polaire des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3.1 Formule de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.3.2 Racines d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Fonctions élémentaires 7
1.1 Fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Fonctions uniformes et multiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Fonctions inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Les fonctions polynômiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Table des matières
1.2.3 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.5 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6 Fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.7 La fonction z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.8 Fonctions trigonométriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.9 Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Dérivation dans le domaine complexe 15
2.1 Domaines dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Conditions de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.5 Règle de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.6 Points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Intégration dans le domaine complexe 23
3.1 Chemins et courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Intégration le long d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Théorèmes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 Domaines simplement ou multiplement connexes . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.3 Primitives et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.4 Formule intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Séries in…nies, séries de Taylor, séries de Laurent 35
4.1 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Table des matières
4.3.1 Quelques séries particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.1 Classi…cation des singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Théorème des résidus 43
5.1 Résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 Calcul des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Le théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Application du théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.1 Théorèmes particuliers utilisés pour le calcul d’intégrales . . . . . . . . . 47
5.3.2 Application aux transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.3 Calcul d’intégrales dé…nies diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
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- série n°1 Département: Mathémathiques et Informatique 2 année Maths تحميل
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