Cours regulation Asservissements et td et examen

- Cours sur les systèmes asservis linéaires continus

1 Transformation de Laplace ..................1

1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Propriétés usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.4 Changement d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.5 Théorème du retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.6 Translation dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.7 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Transformation de Laplace inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Cas où les pôles de F(p) sont tous simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Cas où le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3 Cas où F(p) admet un pôle multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.4 Cas où F(p) admet deux pôles complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Tableau des transformées de Laplace inverses usuelles . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Généralités sur les systèmes Asservis linéaires et Algèbre des schémas 15

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Généralités sur les systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Système de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 Commande en boucle ouverte et commande en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4 Système asservi et système de régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.5 Mise en oeuvre d’un asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Modélisation des systèmes et schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Définition de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Formes particulières de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2 Forme générale : (appelée aussi forme d’Evans) . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 24

2.4.3 Forme constante de temps : (appelée aussi forme de Bode) . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.1 Eléments de la représentation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.2 Algèbre des schémas dans la représentation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.3 Manipulation des schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Modélisation de la machine à courant continu . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.1 Commande par l’induit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.2 Commande par l’inducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Performances des systèmes asservis linéaires dans le domaine temporel 37

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Objectifs de la commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Fonctions de transfert dans un système asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Signaux typiques utilisés dans l’analyse temporelle . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.1 L’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.2 L’échelon unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.3 La rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 Performances dynamiques des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.1 Rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5.2 Précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.4 Dilemme stabilité - précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6 Etude d’un système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.1 Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.2 Réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6.3 Réponse à une rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.7 Etude d’un système du premier ordre à retard . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8 Etude d’un système du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.8.1 Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.8.2 Détermination des paramètres du modèle du second ordre avec dépassement à partir de sa réponse indicielle 61

4 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires 65

4.1 Echelle logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Analyse fréquentielle des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1 Diagramme de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.3 Diagramme de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Tracé du diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.1 Cas de deux systèmes en cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.2 Diagramme de Bode d’une constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.3 Diagramme de Bode d’un integrateur ou d’un dérivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.4 Diagramme de Bode d’un Système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3.5 Diagramme de Bode d’un Système du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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I. Systèmes à réguler ......................................................................................................... 3

I.1. Notion de régulation. ..................................................................................................... 3

I.2. Analogies électriques et mécaniques ........................................................................... 3

I.2.a. Sources ................................................................................................................ 3

I.2.b. Systèmes dissipatifs ................................................................................... 3

I.2.c. Systèmes de stockage capacitif ..................................................................................... 4

I.2.d. Systèmes de stockage inertiel ................................................................................. 5

II. Fonctions de transfert .................................................................................... 6

II.1. Etude temporelle ............................................................................................ 6

II.1.a. Signaux de commande ................................................................................................... 6

II.1.b. Circuits du premier ordre .................................................................. 7

II.1.c. Circuits du second ordre ......................................................................... 8

II.2. Transformation de Laplace ............................................................................ 10

II.2.a. Définition .............................................................................................................. 10

II.2.b. Propriétés ................................................................................................................ 10

II.2.c. Fonction de transfert ................................................................................................. 11

II.2.d. Systèmes du premier ordre ................................................................................ 12

II.2.e. Systèmes du second ordre ........................................................................... 13

II.2.f. Diagramme de Bode.............................................................................................. 17

II.3. Fonctions particulières .............................................................................................. 19

II.3.a. Premier ordre ................................................................................................................ 19

II.3.b. Deuxième ordre .......................................................................................................... 20

II.3.c. Intégrateur.......................................................................................................................... 20

II.3.d. Dérivateur ......................................................................................................................... 21

II.3.e. Gain .............................................................................................. 21

II.3.f. Retard .................................................................................................................... 22

II.4. Modélisation, Identification .............................................................................. 23

II.4.a. Mise en équation ............................................................................................................... 23

II.4.b. Schéma fonctionnel .......................................................................................................... 24

II.4.c. Essai de lâcher .............................................................................................................. 24

II.4.d. Méthode de Strejc .......................................................................................................... 25

II.4.e. Méthode de Broïda ........................................................................................................ 26

II.4.f. Système oscillant ........................................................................................................... 27

III. Systèmes asservis .............................................................................................................. 27

III.1. Principe ........................................................................................................................... 27

III.2. Stabilité d’un système asservi ......................................................................................... 28

III.2.a. Observation des pôles ................................................................................................. 28

III.2.b. Critère de Routh ......................................................................................................... 28

III.2.c. Stabilité, robustesse, marges de gain et de phase. ................................................... 29

III.2.d. Marge de retard ........................................................................................................... 31

III.3. Fonction de transfert d’un système asservi. Diagramme de Black. ............................. 31

III.3.a. Diagramme de Black ....................................................................................................... 31

III.3.b. Caractéristiques obtenues sur le diagramme de Black ............................................... 32

III.4. Correcteurs ...................................................................................................................... 33

III.4.1. Objectifs ................................................................................................................... 33

III.4.b. Correcteur Proportionnel ............................................................................................ 33

III.4.c. Correcteur Proportionnel – Dérivé ............................................................................... 34

III.4.d. Correcteur Proportionnel – Intégral .......................................................................... 34

III.4.e. Correcteur PID ............................................................................................................. 36

III.4.f. Réglage expérimental d’un correcteur PID .................................................................... 36

TRAVAUX DIRIGES ............................................................................... 37

TD1 : Transformée de Laplace................................................................................................... 37

TD 2 : Fonctions de transfert. Modélisation. ..................................................................... 38

I. Représentation de fonctions de transfert.............................................................................. 38

II. Modélisation .................................................................................................................... 38

TD 3 : Systèmes asservis. Black. Correcteurs. ............................................... 39

I. Plan de Black. ........................................................................................................ 39

II. Correcteurs ............................................................................................................ 39

TD 4 : Correcteurs ....................................................................................................... 41

EXAMEN Juin 1998 ........................................................................................................ 43

EXAMEN Février 2000 ........................................................................................... 44

Examen mars 2003 ......................................................................................................... 48

Principales transformées de Laplace.................................................................... 67

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Chapitre I: Introduction aux systèmes asservis..................................... Pages: 01-07
Chapitre II: Transformée de Laplace .................................................... Pages: 08-18
Chapitre III: Réponses temporelles des systèmes fondamentaux......... Pages: 19-36
Chapitre IV: Analyse fréquentielle ....................................................... Pages: 37-51
Chapitre V: Performances des systèmes asservis.................................. Pages: 52-76

Chapitre VI: Correction......................................................................... Pages: 77-95

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